CT

(Computer Tomographie)

 

 

 

 

kurze Übersicht über numerische Methoden

 

 

Gliederung:

 

1.      Allgemeines

 

 

2.      Grundlagen

 

 

3.      CT am Beispiel

 

 

 

 

 

 

1.      Allgemeines

 

a)      Was heißt CT

 

      C: Coputerized = rechnergestützt

      T: Tomographie

                o Tomos = ein Teil(Scheibe) von

                o Graphie = Bild      

      

b)     Verschiedene Arten

 

         o medizinische

         o technische

         o geologische  

 

c)      Das Modell

 

         Aus 1-dim Strahlen werden 2-dim Bilder

               aufgebaut und diese werden zu einem 3-

               dim Objekt zusammengefügt. Hier nur der

                 Weg zu 2-dim.

 

 

2.      Grundlagen

 

Parallele Strahlen werden durch den Körper geschickt. Die Abschwächung wird gemessen.

Es werden mehrere Winkel durch Rotation des Rings gemessen. Durch Weiterschieben des Messtunnels werden die Scheiben zu einem 3-dim-Bild zusammengesetzt.

 

Aufgrund der beschränkten Anzahl von Bilder gibt es keine kontinuierliche Karte. Aus dieser Be-

schränkung ergibt sich die Notwendigkeit der Diskretisierung, welche weitere Probleme mathe-

matischer Natur mit sich bringt, auf welche später

noch eingegangen wird.

 

Godfrey Hansfield machte die ersten Bilder auf einem 8X8-Gitter mit 64 Aufnahmen. Der Zeit-aufwand war 1989 viele Stunden dafür. Heute werden 148X148-Gitter  mit 180 Winkel benutzt.

Daraus ergibt sich ein 26640X21094-Linearsystem

 

 

Erstellung des Bildes

 

Jeder Röntgenstrahl wird vor und nach dem Objekt

Gemessen.

 

 

 

 Die Dichte m(x,y) [nicht negativ] durch folgende Formel errechnet wird. I ist die Intensität, s die Länge von der Quelle des Strahls bis zum Mess-

Punkt.

 

Um die Inital- und Übertragungintensität zusam-

Men zu bringen wird umgeformt zu:

 

und links durch dieses Integral ersetzt:

 

Aus (Xo,Yo) mit So ergibt sich:

Weil s eine XY-Ebene beschreibt, ergibt sich auf der rechten Seite das Wegintegral:

Durch Integration und Einsetzten ergibt sich:

Das Diskretisierungsproblem:

 

Das ist der Punkt welcher am meisten Aufwand erfordert. Da uns die Werte der Dichte nicht genau bekannt sind müssen wir sie finden. Als Beispiel nehmen wir eine 3X3-Matrix bezüglich m und setzte diese als Summe an:

Diese teilen wir in Kasten ein, von nun ab Boxes genannt. Es ergibt sich:

    für die Summe              für d8 

 

 

Für jeden Weg eines Strahle sj gilt folgendes Intergral:

mit der Abschwächung dafür ergibt sich:

 

 

 

Grundlagen der Rückprojektion

 

Dewdney hat hier die Basis gelegt. Er benutzt ein 2-dim.Bild mit 2 Farben(s/w), sie werden mittels senk- und waagerechten Strahlen bestimmt. Am Anfang hat jeder Strahl den Wert 0, am Ende einer Box, die eine Dichte besitzt, wird die 1 addiert. Durch logische Kombination wird die Belegung zugewiesen, die nicht eindeutig sein muss zuge-wiesen.

 

 

 

 

 

 

 

 

Eindeutige Zuweisung

 

 

Mehrdeutige Zuweisung

 

 

Durch Ersetzung der Integerwerte durch Float kann eine Grauskala- oder Farbgraphik erreicht werden.

 

 

 

 

Gefilterte Rückprojektion

 

Die Rückprojektion steht in Beziehung mit der Fouriertransformation. Um ein korrektes Ergebnis zu erhalten müssen wir drei Schritte machen. Der Messablauf stellt sich folgender Maßen dar:

 

 

 

 

Als erstes brauchen wir die allseits bekannte Fouriertransformation(FT) und ihre Inverse(IFT)

Von der 1-dim-FT kommen wir durch eine doppelt Integration zum 2-dim Bereich. Wir brauchen hier dann ganz besonders durch die Faltung von zwei Funktionen wird das Denoising erreicht:

g handelt hier als Frequenzfilter. Filter sind ein sehr wichtiger Teil der Rückprojektion.

 

 

Als zweites benötigen wir die kontinuierliche Rückprojektion. Aufbauend auf den Spezialfall

Q = 0  erreichen wir:

und als wichtiges Ergebnis:

Durch Verwendung irgend eines alten Winkels Q

können wir die Drehung mittels der Jakobi-Matrix berechnen:

 

 

 

 

 

 

 

Es zeigt die sich die ts-Ebene als

mit der 1-dim FT

 

und mit der Anwendung auf xy-Koordinaten:

 

 

 

Als Drittes kommt nun der eigentliche Filter. Das Fourier Slice Theorem führt uns zu seiner Inversen

 

Durch Substitution von P(Q, -p) durch P(Q+P, p)

Durch Rekombination erhalten wir

und schließlich:

, was nach Hence als FilterProjektion bekannt ist.

 

 

Aufbau des Algorithmus

 

1.    DFT und IDFT

 

DFT: Messungen der räumlichen Funktion f(x) werden in räumlichen Frequenz F(u) umgewandelt. Unter der Annahme, dass alle Koeffizienten gerade vorkommen wird nach dem bekannten Schema in jeweils gerade und ungerade Nummern gespalten und die Summe neu erzeugt, bis die DFT auf einzelne Summanden angewendet werden kann, somit erhalten wir die DFFT und für die Inverse die IDFFT.

 

2-dim DFFT

2-dim IDFFT

FFT-Schema

 

 

 

2.    Von der kontinuierlichen Rückprojektion müssen wir nun zu der diskreten gelangen.

 

 

Die kontinuierliche Rückprojektion:

wird gefiltert mit

 

dies wird analog auf die Diskrete Version angewendet:

mit dem Filter:

Weil wir keinen vollen Rang benötigen wird ein Teil(die Hälft) mit Nullen befüllt(Zeropadding).

Auch brauchen wir nicht 2P in Winkeln abarbeiten und messen, weil Redundanzen auftreten, deshalb wird auch die Summengrenzen verschoben.

Die Färbung des Gitters erfolgt mit den verfüg-baren Daten, die gefilterten Werte werden methodisch in das Gitter eingefügt. Die Werte von t werden im Zentrum jeder Box für jeden Winkel bestimmt. Da die Elemente nicht immer genau korrespondieren, werden sie mit den nächst-liegenden approximiert. Alle in einer Box gemap-ten Werte werden zur Gesamtdichte addiert und dann entsprechend ihrer Summe gefärbt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.      CT am Beispiel

 

Wir haben ein elliptisches Objekt, nehmen ein 128X128 Gitter und K=128 parallele Strahlen, wobei von den 90° jeder Winkel aufgenommen und in der Datenmatrix D gespeichert wird. Um die interperiodischen Interferenzen zu vermeiden kommt nun das Zeropadding(mittels Faltung).

ð       90X256 Matrix.

 

  

Nach der Einfärbung erhalten wir eine Art Sinus-kurve, deshalb wird dieses Ergebnis auch Sinu-gramm genannt.

 

 

Dann werden die Elemte von –128:128 nach 0:256 verschoben dadurch wird die das gefilterte Bild vor der FFT transformiert zur sogenannten V-Form.

  

 

Nun wird das gefiltert Bild rückprojeziert und erscheint deshalb schwächer weil die niedrigen Frequenzen durch den Filter entfernt wurden (Hochpassfilterung). Der letzte Schritt ist nun das Aufsummieren in die 128X128 Matrix und die Zuordnung der Farbe.

      

 

 

 

 

 

 

 

Als Abschluß nun ein menschlicher Kopfschnitt: